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CUADRADOS
PERFECTOS
Piense un número, bien luego elévelo al cuadrado, luego al número inicial
súmele uno y elévelo también al cuadrado, reste ambos cuadrados, a este resultado reste 1 y luego
saque la mitad, Oh sorpresa da el número pensado. Ejemplo: Pienso el número 9 Elevo al cuadrado , 9^2 = 81 Sumo 1 al número pensado, me da 10 Elevo 10 al cuadrado, 10^2 = 100 Resto resultados, 100-81=19 Resto 1 al resultado 19-1=18 Saco la mitad 18/2=9 Es el número pensado. Explicación: Propiedad de los cuadrados
perfectos. (a^2 - b^2)=(a+b)(a-b) ..........(I) si b=a+1 remplazando en (I) (a^2 - b^2)=(a+a+1)(a-a-1+1) (a^2 - b^2)=(a+a+1) (a^2 - b^2)=2.a+1) a=((a^2 - b^2)-1)/2Enter content here
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Triángulo
de Pascal
Este famoso triángulo es considerado
una joya de las curiosidades matemáticas, atribuida a Pascal,, aunque también se dice que fue Tataglia su autor.
Bueno si observan como se forma esta pirámide.
Se empieza en la fila "cero" la superior
colocando 1, luego cada fila inferior se forma colocando 1 en los extremos y los demás lugares se forma de sumar los
dos números superiores, y asi al infinito.
Pero que
curiosidades tiene esta formación veamos:
1.- La suma de los números
de cada fila es igual a ; 2 elevado al número de fila:
Veamos
Fila 4 : 1 4 6 4 1 Suma= 16 y tenemos 16
= 2**4
Fila 7 : 1 7 21 38 38 21 7 1 Suma = 134 y tenemos 134 = 2**7
2.- Cada Fila contiene los coeficientes
del complejo Binomio de Newton
(a+b)^n
Ejemplo (a+b)^3= a^3 + 3.a^2.b+3a.b^2+b^3
Los coeficientes son= 1 3 3 1
y son los números
de la fila 3 del triángulo de Pascal!
Y así se cumple para cualquier n.
Ejemplo binomio
a la 7ma potencia, entonces los coeficientes del binomio están en la fila 7: 1 7 21 35 35 7 1
3. Teoría
Combinatoria.
Si denotamos como C(N:P) a Combinaciones de N elementos tomados de P en P, demostraremos que este
resultado está en el triángulo de Pascal.
Por ejemplo C(7:3) Combinaciones de 7 elementos tomados
en grupos de 3 en 3:
Matemáticamente se resuelve así:
C(7:3)= (7!)/(3!.(7-3)!) (!=factorial
ejm. 7!= 7.6.5.4.3.2.1 = 5040)
C(7:3)= 5040/(6.24) = 35
Veamos ahora el triángulo de
Pascal en la fila 7 columna 3 (empiezan en fila cero y columna cero) y encontramos que efectivamente el numero es 35 !genial!
4. Propiedad singular: En el
triángulo de Pascal, y tomemos cualquier diagonal y sumemos sus números desde el extremo y por la longitud que
deseemos, veremos que la suma de estos números es exactamente igual al número de la fila inmediata inferior. Ejemplos: Diagonal
en verde : 1+7+28+84+210+462+924= 1716 Diagonal roja:
1+6+21+56= 84
Bueno, realmente este triángulo tiene muchísimas más propiedades como la de los
números primos, con los números poligonales, etc. Próximamente continuaré.
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NUMEROS PRIMOS ¿Son infinitos los números primos, pero cuál es primo más
grande?
En Marzo del
2008 por el método de computación distribuida o informática en malla se encontró que el primo
más alto es:
2 ^32,582,657 − 1
Este número de 9,808,358 dígitos
fue encontrado por el proyecto: Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS).
Los
primos de Mersenne:
Mn = 2^n − 1.
Nótese
que no todos los primos son primos de Mersenne, por ejemplo: 13 es primo pero no cumple, pues 14 (13+1) no es potencia de
2.
Hasta hoy sólo se han encontrado 44 números primos de Mersenne.
Los números primo de Fermat
(Pierre de Fermat)
Fn= 2^(2^n)
-1
Ejemplo: si n= 3 2^(2^3)-1 = 2^8-1 = 256 -1 = 257
Sólo se conocen cinco primos de Fermat,
que son 3 (n=0), 3 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4).
Fermat creyó que todos los números
naturales de esta forma
eran primos, pero Euler en el año 1732 demostró que al tomar n=5 se obtiene un
número compuesto 4294967297.
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257
y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?
Empecemos de a poco:
Paso básico,
saber cuándo un número es primo, pero antes ;
Cuándo
un número es múltiplo de 2?
Muy fácil
Cuándo un número es múltiplo de 3?
También fácil
(cuando sus cifras suman 3 ó múltiplo de 3)
Ejemplo: 10347 ..... 1+0+3+4+7 =15 múltiplo de 3 ó
seguimos sumando.... 1+5= 6 múltiplo de 3, entonces 10347 es múltiplo de 3
Cuándo un número es múltiplo de 4?
Ya hay que recordar: "Todo
número que cuyas dos últimas cifras sean multiplos de 4"
Ejemplo
132....... 32 es múltiplo
de 4 entonces 132 lo es
13796....96 es múltiplo de 4 entonces 13796 lo es.
Cuándo un número es múltiplo de 5?
Tambien fácil,
(si terminan en cero ó cinco)
Cuándo un número es múltiplo
de 6?
Cuando lo es a la vez múltiplo de 2 y de 3
Ejemplo 20736
Es par
entonces es múltiplo de 2
Sus cifras suman 2+0+7+3+6=24... 2+4=6 múltiplo de 3
Luego si 20736 es
múltiplo de 2 y de 3 lo es de 6
Cuándo un número es múltiplo
de 7?
Bien, ahora si ya el tema es más complejo.
Por ejemplo:
47523
.... es múltiplo de 7 ?
47490279725..... es múltiplo de 7?
¿Cómo y porqué?
Bien:
Reste el doble de las unidades del resto y si es múltiplo de 7 ó cero todo el número
lo es también.
Se sobre entiende que conocemos los múltiplos menores a 100 (7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98)
Con ejemplos entenderemos mejor:
168 16 - 2x8 = 0 si es múltiplo entonces 168 lo es.
345 34
- 2x5 = 24 si es múltiplo entonces 345 lo es
878 87 - 2x8 = 71 No es múltiplo entonces 878 no lo es
987 98 - 2x7 = 84 Si es múltiplo entonces 987 lo es.
4589 458 - 2x9 = 440 continuamos 44-2x0= 44 No es múltiplo
de 7 luego 4589 no es múltiplo de 7.
6265 626 - 2x5 = 616 continuamos 61- 2x6 = 49 si es múltiplo de 7
luego 6265 también lo es.
Un número muy grande 47490279704
4749027970-2x4=4749027962
474902796-2x2=474902792
47490279-2x2= 47490275
4749027-2x5= 4749017
474901-2x7= 474887
47488-2x7= 47474
4747-2x4= 4739
473-2x9= 455
45-2x5= 35
#35 si es múltiplo de 7 luego este 47490279704 es también múltiplo
de 7
¿Cuándo un número es múltiplo de 8?
Cuando terminan en 000 o las tres últimas cifras son múltiplo
de 8
Ejemplo:
275552 552 es múltiplo de 8 (55/8=6, 72/8=9)
453000 000 es múltiplo de
8 por terminar en tres ceros
¿Cuándo un número es múltiplo
de 9?
Cuando las suma de las cifras suman 9
Ejemplo
452344567 4+5+2+3+4+4+5+6+7=
40 no es múltiplo de 9 luego todo el número no lo es
275598 2+7+5+5+9+8= 36 si es múltiplo de 9
luego 275592 también es múltiplo de 9
¿Cuándo
un número es múltiplo de 10?
Cuando termina en
cero
¿Cuándo un número es múltiplo de 11?
?????
A ver (es un error común escribir "haber" cuando realmente queremos
decir bien vamos a ver, o veamos…) ahí lo dejo hasta la próxima.
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